Родился 22 января 1921 года в Ереване в семье преподавателей. Музыкальные способности проявились очень рано: уже в 3–4 года он подбирал мелодии на фисгармонии. В 1926 году его талант заметил Арам Хачатурян. В девять лет Бабаджанян написал «Пионерский марш», а в двенадцать получил первый приз на конкурсе молодых музыкантов.
Учился в Ереванской консерватории, затем в Москве — в училище имени Гнесиных и Московской консерватории. Его педагогами были Елена Гнесина, Виссарион Шебалин, Константин Игумнов. Он вошёл в круг молодых армянских композиторов, которых иногда называют «армянской могучей кучкой» (вместе с Александром Арутюняном, Эдвардом Мирзояном и другими).
Бабаджанян был не только автором хитов, но и серьёзным инструменталистом и композитором:
«Героическая баллада» для фортепиано с оркестром (1950) — за неё он получил Сталинскую премию. Это яркое, драматичное сочинение, где чувствуется и романтическая традиция, и национальный колорит.
Концерты для скрипки и виолончели, фортепианные пьесы, камерные ансамбли.
Совместно с Александром Арутюняном создал «Армянскую рапсодию» и другие сочинения для двух роялей — их нередко исполняли сами авторы.
Нередко выступал как пианист, в том числе с собственными произведениями.
Именно песни принесли Бабаджаняну всесоюзную популярность. Он много сотрудничал с поэтами Робертом Рождественским, Евгением Евтушенко, Андреем Вознесенским, Леонидом Дербенёвым, а его главные хиты спел Муслим Магомаев.
Самые узнаваемые песни:
«Королева красоты» (стихи А. Горохова) — один из главных советских эстрадных хитов.
«Не спеши» (стихи Е. Евтушенко).
«Лучший город земли» (стихи Л. Дербенёва) — гимн Москве, ставший культовым.
«Благодарю тебя», «Свадьба», «Позови меня» (все — в соавторстве с Р. Рождественским и в исполнении М. Магомаева).
«Верни мне музыку» (стихи А. Вознесенского).
Его песни отличает яркая, «широкая» мелодия, эмоциональная подача и умение соединить эстрадную доступность с настоящей композиторской культурой.
Бабаджанян писал музыку к фильмам; особенно известна его работа над картиной «Песня первой любви» (1958) — это один из первых советских фильмов, где прозвучал джаз.
Создал мюзиклы «Дядя Багдасар», «Невеста с Севера», «В горах моё сердце».
Мелодизм: у Бабаджаняна почти любая тема запоминается с первого прослушивания.
Армянский колорит: даже в эстрадных песнях можно услышать интонации и ритмы армянской музыки.
Пианистическая природа: многие мелодии словно «написаны для рояля» — они удобны для инструмента и при этом выразительны для голоса.
Эмоциональный диапазон: от лирики до бравурного, почти праздничного звучания.
Народный артист СССР (1971), лауреат Сталинской и Государственных премий.
В Ереване и Москве есть памятные места и мероприятия, связанные с именем композитора.
Его песни продолжают исполнять, а инструментальные сочинения играют на концертах и конкурсах.